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和聪明无关?怎样学习数学

这个题目口气大得像假装学霸要指点江山,其实只是一个学渣迟到的反省,为了找到办法激励青春期的娃学数学。他每天听完数学课一道题都不做,然后直接裸奔期中期末考场,拿到成绩单垂头丧气,回家让我看看人家的爸爸。我只好每天晚上发奋图强补习数学,好给他讲明白什么是数学,怎么学数学。 

正好过去这几个月瘟疫没完战争又开始,社交媒体和舆论空间到处都是声嘶力竭的争吵。发现柯朗的《什么是数学》,波利亚的《怎样解题》,小平邦彦的《惰者集》写得真好,一走进去,整个世界都清净了。

小平邦彦是第一个获得菲尔兹奖的日本数学家,有一种出奇不意的冷幽默,亚洲人身上少有。我发现他是意外惊喜,因为一本《几何世界的邀请》,日语是『幾何への誘い』,被我误看成制服诱惑,否则根本没法注意到。他有一些关于学习的洞察力,非常打动我。他引用爱因斯坦:“我认为语言在思考结构中没有发挥任何作用。在思考中发挥作用的要素,是某种自我生成、结合的形象。这种形象的结合游戏 – 早于语言和符号构成的逻辑性结构的结合游戏—是创造性思考的特征。”上来就当头一棒,我原以为语言才是思维的工具。

小平邦彦辅导自己女儿学数学,我不知道是不是也痛不欲生,反正他把日本文部省和美国的新数学运动教学方法骂成一坨狗屎,认为完全不顾及孩子天性和成长历程。一怒之下,大数学家自己编写了平面几何,中小学数学教材,看得我心花怒放。他用复数证明平面几何欧拉线和九点共圆,几句话就说得清清楚楚,佩服得五体投地。他认为数学学习的进程,应当遵循人类数学发现的天然演化过程,而不是遵循数学家后来建构出来的逻辑关系,从集合开讲其他数学概念。这就好比是基本粒子是构成物质世界的基础,难道物理课就需要给初中生先讲粒子物理?

《惰者集》是他对数学教育的反思。开篇就简明讲了他学习数学的方法和经历。数学书对小平邦彦也是晦涩难懂,几百页的书要读完难于上青天,经常一个月最多艰难地读一章。他一般看定理,试图自己先证明;如果证明不出来,就参考书里的证明;如果书里的证明还是看不明白,就试图抄下来书里的证明,一步一步琢磨。发现不尽人意的地方,自己去改进证明方法。很多时候无路可走油尽灯枯才作罢。一个月下来,前面的就忘记了,然后折返回去从头开始。做笔记的目的不是去背诵证明过程,而是花时间理解定理所要表达的数学事实的结构。聪明人下笨功夫。

我娃知道了顶级数学家原来跟他一样,学数学也有痛不欲生的时候,顿时感觉痛苦减轻了很多。看到小平邦彦一些有冲击力的认知方式,我也第一次感受到和数学家离得这么近:

1、         反对美国的快乐宽松教育,认为学数学和练钢琴是相似的,需要一定数量的练习,才能培养出感觉。对数感的敏锐类似听觉的敏锐,和聪明无关。证明定理的过程,不仅是验证是否正确的手段,而是有更深刻的价值培养感觉。

2、         数学和逻辑没多大关系,在本质上不同。逻辑对数学的作用,相当于语法对于文学的作用。逻辑可以往任何方向走,还能走进死胡同,数学需要方向感。

3、         数学的公理体系,可以有完全不同的假设,得到完全不同的理论体系。好比是围棋棋盘上的游戏,规则不同,则会演化成围棋,五子棋,两种朝鲜围棋。公理体系必须不包含矛盾,还需要有丰富性。如果四子棋,一开始先手必胜,则索然无趣。如果六子以上,永远分不出胜负。所以公理体系是自由的,但自由选择范围有限。

4、         人用图形思考,人脸识别是潜意识模式识别,平面几何帮助培养创造力。

5、         人类是用胃这样的本能做决定,脑袋只是在为胃的决定做合理化辩解。

6、         国家完全是被本能支配的产物。很多“观念”是带着理性面具的人类本能。

7、         最讽刺的是,人类最擅长的其实是科学技术,最不擅长的是政治。

小平邦彦太有趣了,他说自己只会算术,其他都不会。其实不是这样。他没有亚洲人普遍把自己过于当回事的毛病,喜欢自嘲,非常通透,对很多问题都有与众不同的洞察力。汉语和英语让他学得痛苦不堪,他外公教他中文用“白文素读”方法,就是只背不讲,反复诵读自然慢慢理解。他父亲是农商省次官,在伪满洲国做过三年参议员。小时候他家狗生了六只小狗,如果把小狗全藏起来,狗妈妈会哭泣四处寻找。如果藏五只,留一只在身边,她不会发现有不对劲的地方。小平邦彦那时还是小孩,但他意识到狗可能没有数量的概念。二战期间他在东京大学上学教书,文科生都被送上战场做了炮灰,理工男留在学校。战争后期东京开始被轰炸,粮食短缺,出门长途旅行必须自己背一袋大米,否则就算支付了房费,旅馆也会拒绝入住。1945年8月,日本输了这场人人高喊“必胜”的战争,居然在当初无限狂热的民众中没有引起任何波澜。

 小平邦彦英语烂得一塌糊涂,在普林斯顿高级研究所闹了很多笑话,连同事请他去家里吃饭这样简单的英语都听不明白。他和朝永振一郎每次在普林斯顿的酒会上都很难跟人搭话,只好闷头吃饭,说反正回去再做一顿挺麻烦的。这个故事把我笑翻了,每个笑话我都心有戚戚,于是我找来了他所有的书读了一遍,包括他的自传《我只会算术》。警告一下,小平邦彦那本《微积分入门》有相当难度,不是入门水平。微积分讲得浅显易懂的,推荐大卫艾奇逊的《微积分的故事》The Calculus Story: A Mathematical Adventure 

二、

 

以前读不下去《什么是数学》,每次看两三页就放弃了。接近600页的厚度让人望而生畏,为了孩子就咬咬牙啃下去,但其实不需要全读完,选几章就可以。战争疫情封城众声鼎沸,这次终于静下心来认真读进去了,可能就是为了找一个清净的避难所。意外理解了这本书为什么是经典。

孩子学习数学的一个巨大挑战,常常不知道数学究竟是什么东西。公式变来变去究竟要干什么,辅助线一会儿画在这里一会儿画在那里究竟要画在哪里,像是在一个巨大丛林里转来转去,除了知道必须应付考试外,为谁而学为何而学,都搞不清楚,很沮丧。柯朗在这本书从很高的视角给了一个非常简洁全面的初等数学的鸟瞰,把数学发展的逻辑讲明白了。 

柯朗说数学是人类思维的表达方式,反映了人类积极进取的意志,审慎的逻辑,和对完美的追求。是通过intuition and logic, analysis and construction, generality and individuality的相互作用一起构成数学的用途生命和价值。古希腊人的的欧几里得几何,在公理基础上通过演绎推理建立了一个完美的理论体系。但是,这套理论是静止的,面对运动、连续、无穷这些概念束手无策。用培根更激烈的话,演绎推理不增加任何新知识,在希腊公理体系里原地打转了两千年。十七十八世纪,人们抛弃了这个方法,开始研究变化,发明了函数这个工具,指数函数、对数函数、幂函数、三角函数应运而生,微积分和解析几何开始蓬勃发展。数学在追求纯粹性和追求应用价值之间不断摇摆,有时候来源于应用并产生巨大应用价值,比如对数的发明就是因为天文观测数据计算量太可怕了才发明的。有时候看不到任何应用前景,比如早年的数论。到了十九世纪,数学家们发现自己无法说清楚“点”“线”“面”“数”这些实在的thing in itself 究竟是什么, “可验证的事实”只有结构和关系,数学研究的是结构和关系,不是实体本身

柯朗的缺点是非常简洁,简洁得如剃须刀一般锋利,让我每一段都要读很多遍,这就是为什么当初屡屡放弃。一旦毛塞顿开,就产生了兴趣。他的书需要耐心,需要一个定理一个定理读过来,可能会很慢,但是值得。他把初等数学所有重要的内容都用简洁的语言推演陈述了一遍,而且介绍它们出现的背景和原因。他讲到罗马计数法没法运算,进制之间转化,有理数的发明是因为测量需要。设置一个单位量,然后测量(measuring)的动作就变成了数数(counting),数一共有几个单位量就行了,但是最后剩余那部分数不足一个单位怎么办,就需要更小单位,于是分数产生。然后不可公度的情形出现,无理数登场。小朋友开始理解了貌似抽象的数学,一步一步演化过来的过程和逻辑。未必都能完全明白,但数学至少不再是莫名其妙转不出去的一个丛林。传统中学教育比较急于让孩子们去做题,可能认为数学发展脉络内在逻辑无足重轻。在应试教育的压力下,可以理解,家长和老师都认为考试又不考何必浪费时间整那些没用的。而我恰恰认为,这一部分是培养孩子们对数学兴趣最有效的内容,能帮助孩子见木也见林,至少我家喜欢故事的娃是这样。

三、

 

《怎样解题》是一本好书,核心意思是,你别光告诉我解题技巧和方法,能不能告诉我这个这个技巧和方法你是怎么想到的?启发式思考,究竟怎么启发,启发什么?这个问题是元问题,对孩子更重要,而且不局限于数学题,其实是解任何题,包括语文题,物理题,还有人生的难题。

波利亚教授无与伦比的优点就是啰嗦,同一个意思颠三倒四翻来覆去地讲。二战前一大群匈牙利的天才投奔美国,他们包括冯诺伊曼,冯卡门,波利亚,据说他们的共同特点是说话都听不懂,被美国人取个外号叫“火星人”。

我毫无抱怨,暗自窃喜,跟娃说,你看看,别总对我不耐烦,大数学家跟你爹一样啰嗦,你能不能再忍受一下。这些方法我总结在下面一张表里,和孩子讲完之后,需要在实践中不断练习,反复强化提醒,其实要害不是这些建议,要害是怎样内化养成解题好习惯。比如我娃一半以上的错题,都是因为题都没读明白,就急于开做,然后基本上都算错。

 

这几本书读完,是不是娃的数学成绩能获得立竿见影的提高呢?答案是肯定不会。最终,还是要靠一个问题一个问题理解过来,有的孩子理解得多,有的理解的少,有的快一些,有的慢一点。但是,先种一粒种子,让它慢慢生根,潜移默化为孩子培养一点大局观,还是有价值的。他只要不再害怕数学,我的目标就实现了。至于会不会做很多难题考很高的分数,对我来说是个something nice to have, but次要问题。

小平邦彦曾经针对日本文部省的教学大纲问,你们急着给孩子塞这么多东西,急什么呢?我心有戚戚,看到乌克兰俄罗斯北约美国全世界都在瞎折腾,人类真不知道会把自己怎么作死。所有人终点都奔向坟墓,急什么呢。

 



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